Để chứng minh rằng tam giác \( MIAK \) là hình chữ nhật và \( A \) là trung điểm của \( EF \), ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \( MIAK \) là hình chữ nhật:

1. **Xác định các điểm**:
- \( M \) là điểm nằm trên \( BC \).
- \( E \) và \( F \) lần lượt là các điểm đối xứng của \( M \) qua \( AC \) và \( AB \).
- \( I \) là giao điểm của \( ME \) với \( AB \) và \( F \) là giao điểm của \( MF \) với \( AC \).

2. **Xét các góc**:
- Vì \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \), nên \( AB \perp AC \).
- Từ tính đối xứng, ta có \( ME \perp AB \) và \( MF \perp AC \).

3. **Chứng minh các cạnh**:
- Từ đó, suy ra \( MI \perp IA \) (do \( ME \perp AB \)) và \( MK \perp IA \) (do \( MF \perp AC \)).
- Điều này có nghĩa là \( MIAK \) có các góc vuông, nên \( MIAK \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( A \) là trung điểm của \( EF \):

1. **Xét hình chiếu**:
- Bởi tính chất đối xứng, ta có:
- \( A \) là hình chiếu của cả \( E \) và \( F \) lên các đường \( AB \) và \( AC \).

2. **Tính chất trung điểm**:
- Do đó, khoảng cách từ \( A \) đến \( E \) và từ \( A \) đến \( F \) là bằng nhau.
- Suy ra \( A \) là trung điểm của \( EF \).

Vậy, cả hai yêu cầu đều được chứng minh: \( MIAK \) là hình chữ nhật và \( A \) là trung điểm của \( EF \).