Cho tam giác PQR vuông tại P, điểm 1 là trung điểm của QR. Gọi C là hình chiếu của I trên PQ. Gọi D là hình chiếu của I trên PR

Để giải bài toán này, ta sẽ diễn giải từng câu hỏi một cách chi tiết.

### Thông tin đã cung cấp:
- Tam giác \(PQR\) vuông tại \(P\).
- Điểm \(I\) là trọng tâm của tam giác \(PQR\).
- Điểm \(1\) (mình viết là \(M\)) là trung điểm của \(QR\).
- Điểm \(C\) là hình chiếu của \(I\) trên cạnh \(PQ\).
- Điểm \(D\) là hình chiếu của \(I\) trên cạnh \(PR\).
- Điểm \(O\) là trung điểm của \(PI\).
- Biết rằng \(OR = 10 \text{ cm}\).

### a) Tứ giác \(CIDP\) là hình gì? Vì sao?

Tứ giác \(CIDP\) là hình chữ nhật.

**Giải thích:**
- \(C\) là hình chiếu của \(I\) trên \(PQ\), nên \(CI\) vuông góc với \(PQ\).
- \(D\) là hình chiếu của \(I\) trên \(PR\), nên \(DI\) vuông góc với \(PR\).
- Cuối cùng, \(P\) là đỉnh của tam giác vuông, tạo thành các góc vuông tại \(P\).

Do đó, \(CIDP\) là tứ giác có bốn góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.

### b) Gọi \(O\) là trung điểm của \(PI\). Chứng minh ba điểm \(C\), \(O\), \(D\) thẳng hàng

**Chứng minh:**
- Ta có \(I\) là trọng tâm của tam giác \(PQR\), nghĩa là \(I\) chia mỗi cạnh trong tam giác theo tỷ lệ 2:1 từ đỉnh.
- \(C\) và \(D\) là hình chiếu của \(I\) lên các cạnh \(PQ\) và \(PR\), do đó đường thẳng \(CD\) sẽ đi qua \(I\).
- \(O\) là trung điểm của \(PI\), có nghĩa là \(O\) cũng nằm trên đường thẳng \(CD\) bởi vì chiều cao của tam giác vuông và trung điểm \(O\) từ \(P\).

Do đó, ba điểm \(C\), \(O\), \(D\) nằm trên một đường thẳng.

### c) Biết \(OR=10 \text{ cm}\). Tính \(CD\)

Để tính được độ dài \(CD\), ta cần có thêm thông tin về tọa độ điểm \(I\). Tuy nhiên, ta có thể sử dụng một số kiến thức hình học sau:

1. Trong tam giác vuông \(PQR\), độ dài \(OR\) chính là khoảng cách từ trung điểm \(O\) đến điểm \(R\).
2. Vì \(CD\) là hình chiếu vuông góc từ \(C\) đến \(D\), ta có thể sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(CID\).

Cụ thể, nếu ta coi góc tại \(I\) được tạo thành bởi các đoạn thẳng \(CI\) và \(DI\), có thể áp dụng định lý sinh ra.

### Kết luận
Thông qua các thông tin cho trước và mối liên hệ giữa các điểm, nếu \(I\) xây dựng đúng cách với trọng tâm của tam giác vuông, ta sẽ tìm ra \(CD\).

Tuy nhiên, để có một con số cụ thể cho \(CD\), ta cần có thông tin thêm về độ dài của các cạnh \(PQ\) và \(PR\). Nếu chỉ biết thông tin về \(OR\), ta không thể đưa ra tỷ lệ chính xác cho \(CD\).

Bạn có thể kiểm tra lại công thức hoặc thông tin thêm đề bài để tính chính xác giá trị \(CD\).