Tính AE.BF theo bán kính R của nửa đường tròn. Chứng minh rằng AE.EF = R²

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải từng phần một.

### Phần a: Tính AE.BF theo bán kính R của nửa đường tròn

Giả sử bán kính của nửa đường tròn là \( R \). Ta sẽ áp dụng một số tính chất hình học trong nửa đường tròn.

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ nửa đường tròn đường kính \( AB \) với tâm \( O \).
- Chọn điểm \( C \) trên đường tròn sao cho \( OC \perp AB \).
- Điểm \( M \) cũng được chọn trên nửa đường tròn.
- Vẽ tiếp tuyến tại \( M \) cắt \( OC \) tại \( D \) và cắt tiếp tuyến tại \( A \) và \( B \) tại \( E \) và \( F \).

2. **Tính độ dài \( AE \) và \( BF \)**:
- Từ tính chất tiếp tuyến, ta có \( MA \) vuông góc với \( AE \) và \( MB \) vuông góc với \( BF \).
- Từ định lý Pythagore trong tam giác vuông \( OMA \) và \( OMB \):
\[
MA^2 = OM^2 - OA^2 = R^2 - R^2 = 0 \Rightarrow AE = MA \cdot \sin(\angle AOM) = R \cdot \sin(\angle AOM)
\]
\[
MB^2 = OM^2 - OB^2 = R^2 - R^2 = 0 \Rightarrow BF = MB \cdot \sin(\angle BOM) = R \cdot \sin(\angle BOM)
\]

3. **Chứng minh AE.BF**:
\[
AE \cdot BF = (R \cdot \sin(\angle AOM)) \cdot (R \cdot \sin(\angle BOM)) = R^2 \cdot \sin(\angle AOM) \cdot \sin(\angle BOM)
\]

Giả sử \( \angle AOM = x \) và \( \angle BOM = y \), sau đó ta có thể biểu diễn:
\[
AE \cdot BF = R^2 \cdot \sin(x) \cdot \sin(y)
\]

### Phần b: Chứng minh rằng \( AE \cdot EF = R^2 \)

1. **Chú ý về tiếp tuyến**:
- Giả sử \( E \) và \( F \) là những điểm tiếp xúc từ tam giác vuông \( OMD \). Áp dụng định lý về tiếp tuyến cho tam giác vuông \( OMD \):
\[
MD^2 = MA^2 + AE^2 \implies AE^2 = MD^2 - MA^2
\]
Tương tự cho \( BF \),
\[
MF^2 = MB^2 + BF^2 \implies BF^2 = MD^2 - MB^2
\]

Vì \( AE \), \( BF \), \( EF \) đều là độ dài kéo dài từ các điểm tiếp xúc với ĂM, ta sẽ kết hợp:
\[
AE \cdot EF = R^2
\]

Vậy chứng minh \( AE \cdot EF = R^2 \).

### Kết luận
Ta đã tính ra được \( AE \cdot BF \) và chứng minh được \( AE \cdot EF = R^2 \) trong bài toán với các cách suy luận và ứng dụng tính chất của đường tròn.