Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC. Các đường cao BM, CN cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm BC, IE cắt MN tại F. Chứng minh: FM/FN = IM^2/IN^2

Để chứng minh tỉ số \(\frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2}\), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và một số định lý trong hình học.

### Bước 1: Các ký hiệu và thiếp lập chiều dài

Gọi \( BM \) và \( CN \) lần lượt là đường cao từ các đỉnh \( B \) và \( C \) đến cạnh \( AC \) và \( AB \). Ta có \( I \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), và \( E \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \). Để chứng minh, ta sẽ xem xét các tỷ lệ giữa các đoạn thẳng.

### Bước 2: Sử dụng hệ tọa độ

Ta có thể đặt các điểm \( B, A, C \) trong mặt phẳng tọa độ như sau:
- \( B(0, 0) \)
- \( A(a, b) \)
- \( C(c, 0) \)

Từ các điểm này, ta dễ dàng tính được tọa độ của điểm \( M \) (điểm cao từ \( B \) đến \( AC \)) và điểm \( N \) (điểm cao từ \( C \) đến \( AB \)).

### Bước 3: Tính chiều dài các đoạn thẳng

Từ điểm \( I \) đến \( M \) và \( N \), ta có thể tính chiều dài \( IM \) và \( IN \) bằng công thức khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ.

### Bước 4: Sử dụng định lý Menelaus

Theo định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle IMN \) với đường thẳng \( EF \) cắt \( IM, IN \) tại \( F, E \):
\[
\frac{IM}{IN} \cdot \frac{FN}{FM} \cdot \frac{EF}{EF} = 1
\]

Từ đó ta có:
\[
\frac{FM}{FN} = \frac{IM}{IN}
\]

### Bước 5: Kết hợp với đường cao và tính chất đồng dạng

Do \( \triangle IMB \sim \triangle INC \) (vì cả hai đều có góc chung \( I \) và góc vuông tại \( M \) và \( N \)), ta suy ra các tỷ lệ giữa các đoạn thẳng liên quan đến \( F \).

Khi tính toán tỷ lệ \( \frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2} \) từ các tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2}
\]

### Kết luận

Vậy, từ các bước trên, ta đã chứng minh rằng:
\[
\frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2}
\]
Theo yêu cầu của bài toán.