Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( N = a + b \) với điều kiện \( a^3 + b^3 = 2 \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức trong toán học.

Ta có công thức:

\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Khi đó, với điều kiện \( a^3 + b^3 = 2 \), ta có:

\[
(a + b)(a^2 - ab + b^2) = 2
\]

Để tối ưu hóa \( N = a + b \), gọi \( s = a + b \) và \( p = ab \). Ta có:

\[
a^2 - ab + b^2 = (a+b)^2 - 3ab = s^2 - 3p
\]

Thay vào biểu thức trên, ta có:

\[
s(s^2 - 3p) = 2
\]

Hay tương đương với:

\[
s^3 - 3sp - 2 = 0
\]

Để tìm giá trị tối đa của \( s \), ta cần mối liên hệ giữa \( s \) và \( p \). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)
\]

Mà \( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = s^2 - 2p \).

Từ đó, ta có:

\[
s^2 \leq 2(s^2 - 2p) \implies s^2 \leq 2s^2 - 4p \implies s^2 + 4p \leq 2s^2
\]

Rearranging gives:

\[
4p \leq s^2 \implies p \leq \frac{s^2}{4}.
\]

Thay vào biểu thức \( s^3 - 3sp - 2 = 0 \):

\[
s^3 - 3s\left(\frac{s^2}{4}\right) - 2 = 0
\]
\[
s^3 - \frac{3s^3}{4} - 2 = 0 \implies \frac{s^3}{4} - 2 = 0 \implies s^3 = 8 \implies s = 2.
\]

Vậy giá trị lớn nhất của \( N = a + b \) là \( 2 \).

Để kiểm tra có tồn tại \( a \) và \( b \) thỏa mãn điều kiện, ta xét:

Khi \( a + b = 2 \) thì:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 2(a^2 - ab + b^2) = 2((a + b)^2 - 3ab) = 2(4 - 3ab) = 8 - 6ab.
\]

Để \( 8 - 6ab = 2 \implies 6ab = 6 \implies ab = 1 \).

Giả sử \( a \) và \( b \) là nghiệm của phương trình \( x^2 - sx + p = 0 \) với \( s = 2 \) và \( p = 1 \):

\[
x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0.
\]

Nên \( a = b = 1 \).

Cuối cùng, giá trị lớn nhất của \( N = a + b \) là:

\[
\boxed{2}.
\]