Để giải bài toán, ta cần chứng minh từng phần một cách chặt chẽ bằng hình học.

**a) Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi**

Để chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi, ta cần chứng minh rằng bốn cạnh BD, DC, CE và EB đều bằng nhau.

1. Gọi K là trung điểm của BC, ta có:
- \( BK = KC \) vì K là trung điểm.

2. Chứng minh BD = CE:
- Từ điều kiện tứ giác BDCE, ta thấy DE vuông góc với BC tại K (điều này đã cho trước).
- Do đó, BD vuông góc với K nên BD = DE = CE.

3. Gọi E' là điểm đối xứng của E qua K, vì K là trung điểm nên:
- Bằng cách sử dụng bảng kính Vật lý, suy ra rằng BD = BE'.

4. Cuối cùng, ta kết luận rằng BD = DE = CE = EB, do đó tứ giác BDCE là hình thoi.

**b) Chứng minh 3 điểm D, A, I thẳng hàng**

Khi I là giao điểm của EC và đường tròn (O), ta cần chứng minh điểm D, A, I thẳng hàng.

1. Vì ED vuông góc với BC tại K và DE vuông góc với BC nên ED = I.
2. Theo tính chất của hình tròn, I là điểm giao của EC, suy ra I nằm trên đường chéo EC.
3. I nằm trên AI (vì I nằm trên EC), điều đó tức là D, A, I thẳng hàng.

**c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của đường tròn (O')**

Vì KI là tiếp tuyến của đường tròn (O') tại A, ta chứng minh rằng khoảng cách từ O' đến KI là lớn hơn bán kính R'.

1. Ta biết A là điểm tiếp xúc giữa hai đường tròn (O) và (O').
2. Đoạn OA = R và đoạn O'A = R' (vì A là tiếp điểm).
3. Đáng lưu ý rằng các đoạn từ O và O' đến A vuông góc với tiếp tuyến tại A.

Do đó, ta có:
- Ô A thuộc trên đường thẳng KI, và vì thế khoảng cách O'I lớn hơn khoảng cách OA.

Kết luận, KI là tiếp tuyến của đường tròn (O') tại điểm A.

Tóm lại, đã chứng minh được phần (a), (b), và (c) một cách rõ ràng dựa trên các tính chất hình học.