1) Ta có

 BIC^=1800−IBC^−ICB^=1800−ABC^2−ACB^2=1800−180∘−BAC^2=900+BAC^2⇔BAC^=2BIC^−180°

Tương tự BQC^=900+BPC^2⇔BPC^=2BQC^−180° .

Tứ giác BPAC nội tiếp, suy ra BAC^=BPC^⇒BQC^=BIC^, nên 4 điểm B, I, Q, C thuộc một đường tròn.

2) Gọi đường tròn (B; BI) giao (C; CI) tại K khác I thì K cố định.

Góc IBM^  là góc ở tâm chắn cung IM⏜  và IKM^ là góc nội tiếp chắn cung IM⏜, suy ra IKM^=12IBM^  (1).

Tương tự IKN^=12ICN^  (2).

Theo câu 1) B, I, Q, C thuộc một đường tròn, suy ra IBM^=IBQ^=ICQ^=ICN^ (3).

Từ (1), (2) và (3), suy ra IKM^=IKN^⇒KM≡KN .

Vậy MN đi qua K cố định.