Chứng minh thuận:

Đường tròn (O) cho trước, điểm A cố định nên OA có độ dài không đổi.

ΔOBC cân tại O (vì OB = OC bán kính)

IB = IC (gt) nên OI là đường trung tuyến vừa là đường cao

OI ⊥ BC

Góc OIA = 90°

Đường thẳng d thay đổi nên B, C thay đổi thì I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn OA cố định góc góc OIA = 90°. Vậy I chuyển động trên đường tròn đường kính OA.

Chứng minh đảo: Lấy điểm I’ bất kỳ trên đường tròn đường kính AO. Đường thẳng AI’ cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B’ và C’.

Ta chứng minh: I’B = I’C’.

Trong đường tròn đường kính AO ta có góc OI'A = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

OI'⊥ B'C'

I'B' = I'C' (đường kính vuông góc với dây cung)

Vậy quỹ tích các điểm I là trung điểm của dây BC của đường tròn tâm O khi BC quay xung quanh điểm A cố định là đường tròn đường kính AO.