Để chứng minh đẳng thức \( \sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x \), ta có thể sử dụng một số công thức đại số và khai thác mối quan hệ giữa các hàm lượng giác.

Đầu tiên, ta biết rằng:

\[
\sin^6 x + \cos^6 x
\]

Ta có thể viết lại biểu thức trên bằng cách sử dụng công thức phân tích đa thức:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Với \( a = \sin^2 x \) và \( b = \cos^2 x \):

\[
\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x)^2 - \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2)
\]

Ta biết rằng \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), vì vậy:

\[
\sin^6 x + \cos^6 x = 1 \cdot ((\sin^2 x)^2 - \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2)
\]

Bây giờ, chúng ta tính \( (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 \):

\[
(\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = \sin^4 x + \cos^4 x
\]

Ta có công thức sau:

\[
\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x
\]

Khi đó ta có:

\[
\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x
\]

Vậy ta có:

\[
\sin^6 x + \cos^6 x = (1 - 2\sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x
\]

Do vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức:

\[
\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x
\]

Kết luận: Đẳng thức đã được chứng minh là đúng.