a) Hạ OE vuông góc với AB cắt CD tại F

Trong tam giác OAB cân tại O ta có:

\(\frac = \frac \Rightarrow MN\parallel AB \Rightarrow OF \bot MN\)

Và MF = NF

Ta nhận xét thêm:

OF ⊥ MN ⇔ OF ⊥ CD ⇔ CF ⊥ DF

Khi đó: CM = CF – MF = DF – NF = DN (đpcm)

b) Đặt MF = x, suy ra:

CF = CM + MF = MN + MF = 3MF = 3x

OF = x, vì tam giác OMF vuông cân tại F

Trong tam giác OCF, ta có:

OF² = OC² – CF²

⇔ x² = R² – 9x²

⇔ 10x² = R²

⇔ x = \(\frac{R}{{\sqrt {10} }}\)

Khi đó ta được:

ON = OM = OF\(\sqrt 2 = \frac{R}{{\sqrt {10} }}.\sqrt 2 = \frac{R}{{\sqrt 5 }}\)

Vậy với OM = ON = \(\frac{R}{{\sqrt 5 }}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.