a) Hình bình hành ABCD có BAD^,ADC^ ở vị trí trong cùng phía.

Suy ra ADC^=180°−BAD^=60°

Khi đó ADI^=IDC^=ADC^2=30° (do DI là tia phân giác của ADC^).

Mà AID^=IDC^ (cặp góc so le trong).

Vì vậy AID^=ADI^

Suy ra tam giác ADI cân tại A.

Do đó AD = AI.

Mà AB = 2AI (I là trung điểm của AB).

Vậy AB = 2AD (điều phải chứng minh).

b) Gọi J là trung điểm của DI.

Tam giác ADI có AJ là đường trung tuyến.

Suy ra AJ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của tam giác ADI.

Khi đó JAI^=DAJ^=DAI^2=60°

Xét ∆AJD và ∆DHA, có:

AJD^=DHA^=90°

AD là cạnh chung;

DAJ^=ADH^=60°

Do đó ∆AJD = ∆DHA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra DJ = AH (cặp cạnh tương ứng).

Mà DI = 2DJ (J là trung điểm của DI).

Vậy DI = 2AH (điều phải chứng minh).

c) Ta có BI = BC=12AB

Suy ra tam giác IBC cân tại B.

Mà IBC^=ADC^=60°

Do đó tam giác IBC đều.

Vì vậy IC = IB = IA.

Khi đó tam giác ABC vuông tại C hay ACB^=90°

Suy ra DAC^=ACB^=90°

Vậy AD ⊥ AC (điều phải chứng minh).