Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm đạo hàm**:
\[
y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 9
\]

2. **Giải phương trình \(y' = 0\)** để tìm các điểm cực trị:
\[
3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
\]
Từ đây ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = 3, \quad x_2 = -1
\]

3. **Xác định các khoảng đơn điệu**:
Ta xét dấu của \(y'\) trên các khoảng phân chia bởi các nghiệm vừa tìm:
- Khoảng \((- \infty, -1)\)
- Khoảng \((-1, 3)\)
- Khoảng \((3, +\infty)\)

- Chọn một giá trị trong từng khoảng để kiểm tra dấu của \(y'\):
- **Khoảng \((- \infty, -1)\)**: Chọn \(x = -2\)
\[
y'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \quad \text{(hàm đồng điệu tăng)}
\]

- **Khoảng \((-1, 3)\)**: Chọn \(x = 0\)
\[
y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0 \quad \text{(hàm đồng điệu giảm)}
\]

- **Khoảng \((3, +\infty)\)**: Chọn \(x = 4\)
\[
y'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \quad \text{(hàm đồng điệu tăng)}
\]

4. **Kết luận**:
- Hàm số **tăng** trên các khoảng: \((- \infty, -1)\) và \((3, +\infty)\)
- Hàm số **giảm** trên khoảng: \((-1, 3)\)

Vậy các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1\ là:
- Tăng: \( (-\infty, -1) \) và \( (3, +\infty) \)
- Giảm: \( (-1, 3) \)