Để giải phương trình

\[
\frac{x}{2}(x-3) + \frac{x}{2}(x+1) = \frac{2x}{(x+1)(x-3)},
\]

ta bắt đầu bằng cách quy về một biểu thức đơn giản hơn.

### Bước 1: Tính toán bên trái

Ta có thể gộp các hạng tử bên trái:

\[
\frac{x}{2}(x-3) + \frac{x}{2}(x+1) = \frac{x}{2} \left( (x-3) + (x+1) \right) = \frac{x}{2} (2x - 2) = x(x-1).
\]

### Bước 2: Viết lại phương trình

Giờ phương trình trở thành:

\[
x(x-1) = \frac{2x}{(x+1)(x-3)}.
\]

### Bước 3: Nhân chéo

Giả sử \( x(x - 1) \neq 0 \), ta nhân chéo:

\[
x(x-1)(x+1)(x-3) = 2x.
\]

### Bước 4: Rút gọn

Chia cả hai vế cho \( x \) (giả sử \( x \neq 0 \)):

\[
(x-1)(x+1)(x-3) = 2.
\]

### Bước 5: Mở rộng biểu thức bên trái

Mở rộng biểu thức bên trái:

\[
(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1.
\]

Do đó:

\[
(x^2 - 1)(x - 3) = 2.
\]

Phát triển:

\[
x^3 - 3x^2 - x + 3 = 2.
\]

Giải phương trình:

\[
x^3 - 3x^2 - x + 1 = 0.
\]

### Bước 6: Tìm nghiệm

Để tìm nghiệm của phương trình bậc ba, ta có thể thử các nghiệm nguyên. Thử \( x = 1 \):

\[
1^3 - 3(1)^2 - 1 + 1 = 1 - 3 - 1 + 1 = -2 \quad (\text{sai}).
\]

Thử \( x = 2 \):

\[
2^3 - 3(2)^2 - 2 + 1 = 8 - 12 - 2 + 1 = -5 \quad (\text{sai}).
\]

Thử \( x = 3 \):

\[
3^3 - 3(3)^2 - 3 + 1 = 27 - 27 - 3 + 1 = -2 \quad (\text{sai}).
\]

Thử \( x = 4 \):

\[
4^3 - 3(4)^2 - 4 + 1 = 64 - 48 - 4 + 1 = 13 \quad (\text{sai}).
\]

Thử \( x = 0 \):

\[
0^3 - 3(0)^2 - 0 + 1 = 1 \quad (\text{sai}).
\]

Thử \( x = -1 \):

\[
(-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) + 1 = -1 - 3 + 1 + 1 = -2 \quad (\text{sai}).
\]

Cuối cùng, có thể sử dụng phương pháp Newton hoặc đồ thị để tìm nghiệm chính xác.

Khuyến khích sử dụng máy tính để tìm nghiệm chính xác hoặc các phương pháp giải khác như định lý Viète hoặc phương pháp phân phối nghiệm.

Sau khi tìm ra nghiệm, cần kiểm tra lại trong phương trình gốc để đảm bảo rằng không có nghiệm bị loại trừ.