a) Xét ΔABM có MD là đường phân giác của AMB^ nên MAMB=DADB (1) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét ΔACM có ME là đường phân giác của AMC^ nên MAMC=EAEC (2) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Do AM là đường trung tuyến của ΔABC nên M là trung điểm của BC hay MB=MC=12BC.   3

Từ (1), (2) và (3) ta có DADB=EAEC. 

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có DADA+DB=EAEA+EC, hay ADAB=AEAC, suy ra AD⋅AC=AE⋅AB.

Xét ΔABC có ADAB=AEAC, theo định lí Thalès đảo ta có DE // BC.

b) Xét ΔABM có DI // BM, theo hệ quả định lí Thalès ta có DIBM=AIAM.

Xét ΔACM có IE // MC, theo hệ quả định lí Thalès ta có IEMC=AIAM.

Do đó DIBM=IEMC. 

Mà MB=MC (chứng minh ở câu a) nên DI=IE, hay I là trung điểm của DE

c) Ta có MB=MC=12BC=12⋅30=15 cm.

Theo câu a, ta có DADB=MAMB, suy ra DADA+DB=MAMA+MB=1010+15=1025=25.

Do đó ADAB=25.

Xét ΔABC có DE // BC, theo hệ quả định lí Thalès ta có DEBC=ADAB=25.

Suy ra DE=25BC=25⋅30=12 cm.

d) Để DE là đường trung bình của ΔABC thì D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

Xét ΔABM  có MD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại M. Suy ra MA = MB (tính chất tam giác cân).

Tương tự, ta cũng chứng minh được MA = MC

Do đó MA=MB=MC=12BC.

Xét ΔABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC nên ΔABC vuông tại A

Vậy ΔABC phải là tam giác vuông tại A thì DE là đường trung bình của tam giác đó.