a) Ta có BAC^=90o (vì ∆ABC vuông tại A) và AHB^=90o (AH ^ BH)

Nên BAC^=AHB^=90o.

Xét ∆ABC và ∆HAB có:

BAC^=AHB^=90o (cmt)

ABC^=BAH^ (d // BC, hai góc so le trong)

Do đó ∆ABC∆HAB (g.g).

b) Ta có AKC^=90o (vì K là hình chiếu của C trên d) nên AHB^=AKC^=90o.

Lại có CAK^+BAH^=BAC^=90o;

BAH^+ABH^=90o(∆HAB vuông ở H)

Do đó CAK^=ABH^.

Xét ∆HAB và ∆KCA có:

AHB^=AKC^=90o (cmt)

CAK^=ABH^ (cmt)

Do đó ∆HAB ∆KCA (g.g)

Suy ra HAKC=HBKA Û AH.AK = BH.CK (đpcm).

c) Từ câu a: ∆ABC  ∆HAB ⇒BCAB=ABHA⇔53=3HA 

⇒  HA=3 . 35=95  (cm).

Ta có AH // BC, áp dụng định lý Ta-let: BCAH=BMMA 

⇒AM=AH . BMBC=95 . BM5=925BM.

Lại có AM + BM = AB = 3 (cm).

⇒AB=925BM+BM=3425  BM=3

⇒BM=7534  (cm)

Diện tích tam giác MBC là:

SMBC=12 . AC . MB=12 . 4  .  7534=7517 (cm²).