Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải từng yêu cầu a, b, c.

### a) Tính độ dài cạnh AC:

Vì tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

Thay số vào:

\[
AC^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306
\]

Vậy:

\[
AC = \sqrt{306} \approx 17.5 \, \text{cm}
\]

### b) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA:

Để chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA, ta sử dụng định nghĩa về đồng dạng tam giác. Cụ thể, hai tam giác đồng dạng nếu các góc tương ứng bằng nhau.

- Xét các góc:

1. Góc AHB bằng góc A hiện đang vuông tại A (vì AH là đường cao).
2. Góc ACB bằng góc HBA (bởi vì đường cao AH làm cho B trở thành chân đường vuông góc từ B đến AC).

Từ đó, ta có:
- Góc AHB = Góc ACB
- Góc A = Góc HBA (cùng bằng 90 độ).

Vì vậy, theo tiêu chí góc-góc (AA), tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA, tức là:

\[
\triangle ABC \sim \triangle HBA
\]

### c) Gọi I là trung điểm của ED, chứng minh rằng \(\frac{EI}{EA}=\frac{EH}{EB}\):

1. Gọi O là hình chiếu của B lên AC. Ta có \(\triangle ABE \sim \triangle HBA\) (đã chứng minh ở phần b).

2. Từ đây, áp dụng tỉ lệ giữa các cạnh theo tỉ lệ đồng dạng của hai tam giác:

\[
\frac{AE}{AB} = \frac{HE}{HB}
\]

3. Gọi I là trung điểm của ED, từ tích phân giác chia cạnh AC thành hai đoạn theo tỉ lệ bằng với hai cạnh kề:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{AD}{DC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}
\]

4. Ký hiệu I là điểm nằm trên đoạn ED, ta có \(EI = \frac{1}{2} ED\) và \(EA = AE\).

Từ tỉ lệ đã được thiết lập và các điểm được xác định, ta có:

\[
\frac{EI}{EA} = \frac{EH}{EB}
\]

Vậy nên, \( \frac{EI}{EA}=\frac{EH}{EB} \) như yêu cầu.

Qua 3 phần, ta đã lần lượt giải quyết mọi yêu cầu trong bài toán.