Giả sử khối chóp đó là \[S.ABCD.\]

Ta có \(R = \frac{{S{A^2}}} = 9 \Rightarrow \frac{{S{H^2} + A{H^2}}} = 18 \Leftrightarrow A{H^2} = 18 \cdot SH - S{H^2}\)

Mặt khác \[V = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot \frac{{A{C^2}}}{2}\]

\[ = \frac{2}{3}SH \cdot A{H^2} = \frac{2}{3}SH \cdot \left( {18 \cdot SH - S{H^2}} \right).\]

Xét hàm số

\(f\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^2}\left( {18 - t} \right) = \frac{8}{3} \cdot \left[ {\frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} \cdot \left( {18 - x} \right)} \right]\)\( \le \frac{8}{3} \cdot {\left( {\frac{3}} \right)^3} = \frac{8}{3} \cdot {\left( {\frac{3}} \right)^3} = 576\,\,\,\left( {0 < t < 18} \right).\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{t}{2} = 18 - t \Leftrightarrow t = 12.\)

Vậy thể tích của khối chóp \[S.ABCD\] đạt giá trị lớn nhất là 576 khi và chỉ khi \(SH = 12.\)

Đáp án: 576.