Trên tia đối của KB lấy E sao cho KE=KM=KI

Xét tam giác OAM có đường cao MC ồng thời là đường trung tuyến

⇒ΔOAM cân tại M⇒OM=AM.

Lại có OA=OM⇒ΔOAM đều ⇒OAM^=600

Ta có: AMB^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó tam giác AMB vuông tại M⇒ABM^=300

Xét tam giác vuông BCM có: BMC^=900−ABM^=900−300=600⇒BMN^=600(1)

Tứ giác ABKM là tứ giác nội tiếp ⇒EKM^=MAB^=600(góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Lại có: KE = KM (vẽ thêm) ⇒ΔMKEđều  ⇒KME^=600(2)

Từ (1) và (2) :

⇒BMN^=KME^=600

⇒BMN^+BMK^=KME^+BMK^

⇒NMK^=BME^

Xét tam giác vuông BCM có sinCBM^=sin300=CMBM=12⇔BM=2CM

Lại có : OA⊥MN tại C ⇒Clà trung điểm của MN (đường kính dây cung)

⇒MN=2CM⇒MN=BM=2CM

Xét tam giác MNK và tam giác BME có:

MNK^=MBE^(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK)

MN=BM(cmt);NMK^=BME^(cmt)

⇒ΔMNK=ΔBMEg.c.g⇒NK=BE(2 cạnh tương ứng)

⇒IN+IK=BK+KE

Mà IK = KE (vẽ thêm)⇒IN=BK(dfcm)