1) Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên MA ^ OA.

Suy ra  OAM^ = 90°.

Tương tự  OBM^= 90° nên  OAM^+OBM^ = 180°.

Do đó tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Do IB là tiếp tuyến của (O) ta có  FAB^=IBF^=12BF hay  IAB^=IBF^

Xét ∆IBA và ∆IFB có:

 BIA^ là góc chung

  IAB^=IBF^(cmt)

Do đó ∆IBA  ∆IFB (g.g)

Suy ra  IBIF=IAIB (các cạnh tương ứng)

Do đó IB² = IF.IA (đpcm) (1)

2) Vì AE // MB (gt) nên  EMB^=MEA^ (hai góc so le trong) hay  FMI^=FEA^(2)

Do MA là tiếp tuyến của (O) ta có  MAF^=FEA^=12AF hay  MAI^=FEA^(3)

Từ (2) và (3) suy ra  FMI^=MAI^.

Xét ∆IMF và ∆IAM có:

 IAM^ là góc chung

 FMI^=MAI^ (cmt)

Do đó ∆IMF  ∽ ∆IAM (g.g)

Suy ra IMIA=IFIM (các cạnh tương ứng)

Do đó IM² = IF.IA (4)

Từ (1) và (4) suy ra IB² = IM² Þ IB = IM (đpcm)

Vậy IB = IM.