Đặt:  x=b+c−ay=a+c−bz=a+b−c

⇒x+y=b+c−a+a+c−b=2cy+z=a+c−b+a+b−c=2ax+z=b+c−a+a+b−c=2b

Khi đó  A=ab+c−a+ba+c−b+ca+b−c

 ⇒2A=2ab+c−a+2ba+c−b+2ca+b−c

 =y+zx+x+zy+x+yz

 =yx+zx+xy+zy+xz+yz

 =yx+xy+zy+yz+zx+xz

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

b+c>aa+c>ba+b>c⇒b+c−a>0a+c−b>0a+b−c>0⇒x>0y>0z>0

Áp dụng BĐT Cô-si cho  yx, xy với x, y > 0 ta có:

yx+xy≥2yx . xy=2

Chứng minh tương tự như vậy, ta cũng được:

zy+yz≥2; zx+xz≥2

Do đó:

2A=yx+xy+zy+yz+zx+xz≥2+2+2=6

⇒A=yx+xy+zy+yz+zx+xz≥3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z.

Suy ra: a = b = c.

Vậy  ab+c−a+ba+c−b+ca+b−c≥3 khi a = b = c.