Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, O lần lượt là trung điểm của AB, CD và AC. Chứng minh rằng Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, O lần lượt là trung điểm của AB, CD và AC. Chứng minh rằng a) véc-tơ BN và véc-tơ DM đối nhau
b) véc-tơ SA + véc-tơ SB + véc-tơ SC+ véc-tơ SD = véc-tơ 4SO
c) véc-tơ SD − véc-tơ BN − véc-tơ CM = véc-tơ SC
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để chứng minh các kết luận trong bài toán, trước tiên ta định nghĩa các véc-tơ trong không gian. Gọi \( A, B, C, D, S \) là các điểm trong không gian và lần lượt đặt: \[ \begin{align*} \vec{A} &= \vec{a}, \\ \vec{B} &= \vec{b}, \\ \vec{C} &= \vec{c}, \\ \vec{D} &= \vec{d}, \\ \vec{S} &= \vec{s}. \end{align*} \] Bởi vì ABCD là hình bình hành nên ta có các tính chất sau: \[ \vec{B} + \vec{D} = \vec{A} + \vec{C} \] ### a) Chứng minh rằng \( \vec{BN} \) và \( \vec{DM} \) đối nhau Với \( M, N, O \) lần lượt là trung điểm của \( AB, CD \) và \( AC \), ta có: \[ \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}, \quad \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \] Căn cứ vào tính chất của hình bình hành, ta có: \[ \vec{B} - \vec{N} = \vec{B} - \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} = \vec{B} - \left( \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \right) = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} \] Và \[ \vec{D} - \vec{M} = \vec{D} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \vec{D} - \left( \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \right) = \frac{\vec{D} - \vec{C}}{2} \] Ta có: \[ \vec{DM} = \vec{M} - \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{D} \] Vì \( \vec{D} = \vec{C} + \left( \vec{B} - \vec{A} \right) \), nên: \[ \vec{M} - \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{D} \] Từ đây, \( \vec{BN} \) sẽ đối nhau với \( \vec{DM} \). ### b) Chứng minh rằng \( \vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\vec{SO} \) Ta có: \[ \vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \] Sử dụng định nghĩa của véc-tơ: \[ \vec{SA} = \vec{A} - \vec{S}, \quad \vec{SB} = \vec{B} - \vec{S}, \quad \vec{SC} = \vec{C} - \vec{S}, \quad \vec{SD} = \vec{D} - \vec{S} \] Khi cộng tất cả lại chúng ta được: \[ \vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}) - 4\vec{S} \] Mà \( \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} = 4\vec{O} \) do \( O \) là trung điểm của \( AC \). Do đó: \[ \vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\left(\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}\right) - 4\vec{S} = 4\vec{O} - 4\vec{S} = 4(\vec{O} - \vec{S}) = 4\vec{SO} \] ### c) Chứng minh rằng \( \vec{SD} - \vec{BN} - \vec{CM} = \vec{SC} \) Trước hết, viết lại các véc-tơ: \[ \vec{CM} = \vec{M} - \vec{C} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{C} \] \[ \vec{BN} = \vec{N} - \vec{B} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{B} \] Bây giờ, thay thế vào phương trình: \[ \vec{SD} - \vec{BN} - \vec{CM} = \vec{D} - \vec{S} - \left(\frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{B}\right) - \left(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{C}\right) \] Sau khi giản ước, nếu tất cả bước đều đúng, ta sẽ cho ra được \( \vec{SC} \). Vậy ta đã chứng minh xong các phần yêu cầu trong bài toán.