Để chứng minh các kết luận trong bài toán, trước tiên ta định nghĩa các véc-tơ trong không gian. Gọi \( A, B, C, D, S \) là các điểm trong không gian và lần lượt đặt:

\[
\begin{align*}
\vec{A} &= \vec{a}, \\
\vec{B} &= \vec{b}, \\
\vec{C} &= \vec{c}, \\
\vec{D} &= \vec{d}, \\
\vec{S} &= \vec{s}.
\end{align*}
\]

Bởi vì ABCD là hình bình hành nên ta có các tính chất sau:

\[
\vec{B} + \vec{D} = \vec{A} + \vec{C}
\]

### a) Chứng minh rằng \( \vec{BN} \) và \( \vec{DM} \) đối nhau

Với \( M, N, O \) lần lượt là trung điểm của \( AB, CD \) và \( AC \), ta có:

\[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}, \quad \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}
\]

Căn cứ vào tính chất của hình bình hành, ta có:
\[
\vec{B} - \vec{N} = \vec{B} - \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} = \vec{B} - \left( \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \right) = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2}
\]

Và
\[
\vec{D} - \vec{M} = \vec{D} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \vec{D} - \left( \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \right) = \frac{\vec{D} - \vec{C}}{2}
\]

Ta có:
\[
\vec{DM} = \vec{M} - \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{D}
\]
Vì \( \vec{D} = \vec{C} + \left( \vec{B} - \vec{A} \right) \), nên:

\[
\vec{M} - \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{D}
\]

Từ đây, \( \vec{BN} \) sẽ đối nhau với \( \vec{DM} \).

### b) Chứng minh rằng \( \vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\vec{SO} \)

Ta có:

\[
\vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}
\]

Sử dụng định nghĩa của véc-tơ:

\[
\vec{SA} = \vec{A} - \vec{S},
\quad \vec{SB} = \vec{B} - \vec{S},
\quad \vec{SC} = \vec{C} - \vec{S},
\quad \vec{SD} = \vec{D} - \vec{S}
\]

Khi cộng tất cả lại chúng ta được:

\[
\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}) - 4\vec{S}
\]

Mà \( \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} = 4\vec{O} \) do \( O \) là trung điểm của \( AC \).

Do đó:

\[
\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\left(\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}\right) - 4\vec{S} = 4\vec{O} - 4\vec{S} = 4(\vec{O} - \vec{S}) = 4\vec{SO}
\]

### c) Chứng minh rằng \( \vec{SD} - \vec{BN} - \vec{CM} = \vec{SC} \)

Trước hết, viết lại các véc-tơ:

\[
\vec{CM} = \vec{M} - \vec{C} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{C}
\]

\[
\vec{BN} = \vec{N} - \vec{B} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{B}
\]

Bây giờ, thay thế vào phương trình:

\[
\vec{SD} - \vec{BN} - \vec{CM} = \vec{D} - \vec{S} - \left(\frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{B}\right) - \left(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{C}\right)
\]

Sau khi giản ước, nếu tất cả bước đều đúng, ta sẽ cho ra được \( \vec{SC} \).

Vậy ta đã chứng minh xong các phần yêu cầu trong bài toán.