Để tìm các số nguyên \( n \) sao cho \( 2n + 7 \) chia hết cho \( n - 2 \), ta có thể viết điều kiện chia hết như sau:

\( 2n + 7 \equiv 0 \mod (n - 2) \)

Điều này có nghĩa là \( 2n + 7 \) phải có cùng phần dư với \( 0 \) khi chia cho \( n - 2 \). Ta có thể sử dụng phép chia để viết lại điều kiện này:

\( 2n + 7 = k(n - 2) \)

Với \( k \) là một số nguyên nào đó. Ta có thể viết lại:

\[
2n + 7 = kn - 2k
\]

Rearranging the terms ta được:

\[
2n - kn = -2k - 7
\]

Hay:

\[
n(2 - k) = -2k - 7
\]

Ta có thể tìm \( n \) từ đây:

\[
n = \frac{-2k - 7}{2 - k}
\]

Để \( n \) là một số nguyên, điều kiện là mẫu số \( 2 - k \) không bằng 0 và \( -2k - 7 \) phải chia hết cho \( 2 - k \).

Bây giờ, ta sẽ thử một số giá trị cho \( k \).

1. **Với \( k = 1 \):**

\[
n = \frac{-2(1) - 7}{2 - 1} = \frac{-2 - 7}{1} = -9
\]

2. **Với \( k = 2 \):**

\[
n = \frac{-2(2) - 7}{2 - 2} \quad \text{(không xác định)}
\]

3. **Với \( k = 3 \):**

\[
n = \frac{-2(3) - 7}{2 - 3} = \frac{-6 - 7}{-1} = 13
\]

4. **Với \( k = 4 \):**

\[
n = \frac{-2(4) - 7}{2 - 4} = \frac{-8 - 7}{-2} = \frac{-15}{-2} \quad \text{(không nguyên)}
\]

5. **Với \( k = 0 \):**

\[
n = \frac{-2(0) - 7}{2 - 0} = \frac{-7}{2} \quad \text{(không nguyên)}
\]

Sau khi thử các giá trị, ta thấy rằng các giá trị nguyên tìm được là \( n = -9 \) và \( n = 13 \).

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

\[
n = -9, 13
\]