a) Để (d) đi qua gốc tọa độ thì (d) đi qua điểm O(0; 0)

Suy ra m – 3 = 0

Hay m = 3

b) Phương trình hoành độ giao điểm M của (d₁) và (d₃) là:

(2x + m – 3) – (4x – 1) = 0

⇔ 2x + m – 3 – 4x + 1 = 0

⇔ – 2x + m – 2 = 0

⇔ x = \(\frac{2}\)

Suy ra y = 4. \(\frac{2}\) – 1 = 2(m – 2) – 1 = 2m – 5

Do đó \(M\left( {\frac{2};2m - 5} \right)\)

Để (d₁), (d₂), (d₃) đồng quy thì M thuộc (d₂)

Hay 2m – 5 = (m + 1). \(\frac{2}\) – 3

\( \Leftrightarrow 2m - 5 = \frac{{{m^2} - m - 2}}{2} - 3\)

\( \Leftrightarrow 2m - 5 = \frac{{{m^2} - m - 8}}{2}\)

⇔ 4m – 10 = m² – m – 8

⇔ m² – 5m + 2 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}\\m = \frac{2}\end{array} \right.\)

c) Hoành độ giao điểm của (d₃) và trục hoành là

4x – 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Nên giao điểm của (d₃) và trục hoành là \(A\left( {\frac{1}{4};0} \right)\).

Để (d₁) đi qua giao điểm của (d₃) và trục hoành thì A thuộc (d₁)

Suy ra 0 = 2. \(\frac{1}{4}\)  + m – 3

⇔ m – \(\frac{5}{2}\) = 0

⇔ m = \(\frac{5}{2}\)

d) Tung độ giao điểm của (d₃) và trục tung là

y = 4x – 1 = 4 . 0 – 1 = – 1

Nên giao điểm của (d₃) và trục tung là B(0; – 1)

Để (d₂) đi qua giao điểm của (d₃) và trục tung thì B thuộc (d₂)

Suy ra – 1 = (m + 1) . 0 – 3

⇔ – 1 = – 3 (vô lý)

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.