Để giải bài toán này, chúng ta có thể lập phương trình dựa trên các thông tin đã cho:

1. Gọi vận tốc ban đầu của xe ô tô là \( v \) (km/h).
2. Sau 2 giờ, khoảng cách đã đi được là:
\[
S_1 = v \times 2
\]

3. Thời gian nghỉ là 15 phút, tương đương với \( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \) giờ.

4. Vận tốc sau khi nghỉ là \( v + 20 \) (km/h).

5. Khoảng cách còn lại khi xe ô tô tiếp tục đi sau nghỉ là:
\[
S_2 = 180 - S_1 = 180 - 2v
\]

6. Thời gian để đi hết khoảng cách \( S_2 \) là:
\[
t_2 = \frac{S_2}{v + 20} = \frac{180 - 2v}{v + 20}
\]

7. Tổng thời gian để đi từ A đến B là:
\[
T = 2 + \frac{1}{4} + t_2 = 2 + \frac{1}{4} + \frac{180 - 2v}{v + 20}
\]

8. Do xe ô tô đến B đúng giờ định nên tổng thời gian \( T \) sẽ bằng khoảng thời gian đã định là:
\[
T = \frac{180}{v}
\]

**Lập phương trình:**
\[
2 + \frac{1}{4} + \frac{180 - 2v}{v + 20} = \frac{180}{v}
\]

**Giải phương trình:**
1. Biến đổi phương trình trên:
\[
2.25 + \frac{180 - 2v}{v + 20} = \frac{180}{v}
\]

2. Nhân cả hai vế với \( v(v + 20) \):
\[
2.25v(v + 20) + (180 - 2v)v = 180(v + 20)
\]
\[
2.25v^2 + 45v + 180v - 2v^2 = 180v + 3600
\]
\[
0.25v^2 - 95v + 3600 = 0
\]

3. Nhân phương trình với 4 để loại bỏ phân số:
\[
v^2 - 380v + 14400 = 0
\]

4. Giải bằng công thức bậc hai:
\[
v = \frac{380 \pm \sqrt{380^2 - 4 \times 1 \times 14400}}{2 \times 1}
\]
\[
v = \frac{380 \pm \sqrt{144400 - 57600}}{2}
\]
\[
v = \frac{380 \pm \sqrt{86600}}{2}
\]
\[
v = \frac{380 \pm 294.33}{2}
\]

5. Tính nghiệm:
\[
v_1 = \frac{674.33}{2} \approx 337.165 \quad (loại vì quá lớn)
\]
\[
v_2 = \frac{85.67}{2} \approx 42.835
\]

Cuối cùng, vận tốc ban đầu của xe ô tô là khoảng **42.84 km/h**.