Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = \frac{2023}{x - 5} \), ta cần xem xét miền xác định của biểu thức này.

1. **Xác định miền xác định**:
\( x - 5 \neq 0 \) nên \( x \neq 5 \).

2. **Tính giới hạn**:
- Khi \( x \) tiến về 5 từ bên trái (\( x \to 5^- \)), \( M \to -\infty \).
- Khi \( x \) tiến về 5 từ bên phải (\( x \to 5^+ \)), \( M \to +\infty \).

Biểu thức \( M \) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x \) lớn hơn 5. Tuy nhiên, do \( M \) không có giá trị \( x = 5 \), ta có thể thử các giá trị nguyên lớn hơn 5 để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \).

3. **Tính giá trị của \( M \) cho các giá trị nguyên của \( x \)**:
- Khi \( x = 6 \): \( M = \frac{2023}{6 - 5} = 2023 \)
- Khi \( x = 7 \): \( M = \frac{2023}{7 - 5} = 1011.5 \)
- Khi \( x = 8 \): \( M = \frac{2023}{8 - 5} = 674.33 \)
- Khi \( x = 9 \): \( M = \frac{2023}{9 - 5} = 505.75 \)
- Khi \( x = 10 \): \( M = \frac{2023}{10 - 5} = 404.6 \)

4. **Xác định giá trị nhỏ nhất**:
Tiếp tục tính cho các giá trị lớn hơn sẽ cho thấy rằng giá trị của \( M \) giảm dần. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M \) sẽ là khi \( x \) tiến dần tới vô cực.

**Kết luận**: Không có \( x \) nguyên nào cho giá trị nhỏ nhất cụ thể, nhưng giá trị nhỏ nhất của \( M \) tiếp tục giảm khi \( x \) càng lớn. Ta có thể xác định các giá trị cho từng \( x \) nguyên nếu cần thiết.