Cho hình thang vuông ABCD có \[\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = 90^\circ ,\] BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.
Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:
\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)
ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành
Do đó \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \)
\( \Rightarrow 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right) + \overrightarrow {AD} \)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} \) (do \(\overrightarrow {AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \))
\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \)
Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {IC} \) và \[\overrightarrow {ID} \] ngược hướng nhau
Lại có 9IC = 5ID nên \[9\overrightarrow {IC} = - 5\overrightarrow {ID} \] hay \[\overrightarrow {IC} = - \frac{5}{9}\overrightarrow {ID} \]
Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:
\(\overrightarrow {AC} - \left( { - \frac{5}{9}} \right)\overrightarrow {AD} = \left[ {1 - \left( { - \frac{5}{9}} \right)} \right]\overrightarrow {AI} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \frac{5}{9}\overrightarrow {AD} = \left[ {1 + \frac{5}{9}} \right]\overrightarrow {AI} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \frac{5}{9}\overrightarrow {AD} = \frac{9}\overrightarrow {AI} \)
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right) + 5\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 9\overrightarrow {AE} + 5\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 9.\frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + 5\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 6\left( {\frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} } \right)\]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 6.3\overrightarrow {AG} \] (do \(3\overrightarrow {AG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \))
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 18\overrightarrow {AG} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{9}{7}\overrightarrow {AG} \]
Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AI} \) và \[\overrightarrow {AG} \] cùng phương
Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |