Ta có BDC^, BEC^ là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O nên BDC^=BEC^=90°

Mà BD và CE cắt nhau tại H nên ta suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra AIC^=90°

Ta có HDC^+HIC^=180° nên CDHI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính HC.

Suy ra HID^=HCD^ (góc nội tiếp cùng chắn cung DH của đường tròn đường kính HC).

Hay MID^=HCD^

Tương tự, ta chứng minh được tứ giác AEIH nội tiếp đường tròn tâm M

(MA=MD=MH).

⇒MAD^=MDA^  (vì MD=MA) và EDH^=EAH^

 (cùng chắn cung EH của đường tròn tâm M)

Vậy MDK^=ADH^−(MDA^+EDH^)=90°−(MAD^+EAH^)=90°−EAD^=HCD^

Xét 2 tam giác MDK và MID có:

M^ là góc chung,

⇒ΔMDK∽ΔMID(g.g)

⇒MDMK=MIMD⇒MD2=MK.MI(đpcm).