Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, d là đường thẳng qua A và song song BC. Khi M di động trên d thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là?
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Xét điểm I sao cho
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = 0\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \frac{{\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} }}{2} = \overrightarrow {BK} \end{array}\)
(K là trung điểm AC)
Ta có: I là điểm thứ 4 của hình bình hành AIBK
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) - \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = \left| {2\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right)} \right| = 2MI\end{array}\)
M thuộc d, nên giá trị nhỏ nhất đạt được khi IM vuông góc với d.
Khi đó \(\widehat {MAI} = \widehat {MAB} - \widehat {IAB} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \)
\( \Rightarrow 2IM = 2.IA.\sin 30^\circ = 2BK.\sin 30^\circ = a\sqrt 3 \).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là \(a\sqrt 3 \).
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |