Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN. a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB. b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn và \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\). c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng ...

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.

b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn và \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\).

c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
10
0
0

a) Ta có:

• \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) (AB là tiếp tuyến của (O))

• \(\widehat {OCA} = 90^\circ \) (AC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có \(\widehat {OBA} + \widehat {OCA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

Xét ∆ABM và ∆ANB có:

\(\widehat {NAB}\) là góc chung.

\(\widehat {ANB} = \widehat {ABM}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).

Suy ra ∆ABM đồng dạng ∆ANB (g.g)

Từ đó suy ra \(\frac = \frac \Leftrightarrow AB.BM = AM.NB\) (đpcm)

b) Tứ giác ABOC nội tiếp có \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Ta có OK ⊥ MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).

Suy ra \(\widehat {OKM} = \widehat {OKA} = 90^\circ \) dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.

Vì ∆ABM đồng dạng ∆ANB (cmt) nên ta có: 

\(\frac = \frac\)

\( \Leftrightarrow \) AB2 = AM.AN

Mà ta cũng có AB2 = AH.AO (∆ABO vuông tại B có đường cao BH).

Suy ra AM . AN = AH . AO 

\(\frac = \frac\)

Xét ∆AMH và ∆AON có:

\(\widehat {OAN}\)là góc chung

\(\frac = \frac\) (cmt)

Suy ra ∆AMH đồng dạng ∆AON (c.g.c)      

Từ đó suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\) (hai góc tương ứng).

c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).

Suy ra \(\widehat {KMH} = \widehat {KAC}\) (hai góc đồng vị).

Ta lại có \(\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\) (tứ giác KBAC nội tiếp)

Từ đó suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {KMH}\) suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.

\(\widehat {MKH} = \widehat {MBH}\) (tứ giác KBMH nội tiếp)

\(\widehat {MNC} = \widehat {MBC}\) (tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))

⟹ \(\widehat {MKH} = \widehat {MNC} \Rightarrow KH\,\,{\rm{//}}\,\,NC\) (1)

Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).

Do đó IH là đường trung bình của tam giác NBC hay IH // NC                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ – clit).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư