Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức cơ bản về hình học, cụ thể là liên quan đến đường tròn và dây cung.

### a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

Cho đường tròn có bán kính \( R = 4 \) cm, dây AB có góc \( \angle AOB = 90^\circ \).

Từ điểm O (tâm đường tròn) đến dây AB, chúng ta có thể kẻ một đường vuông góc từ O đến AB. Gọi điểm C là giao điểm của đường vuông góc này với dây AB.

Trong tam giác OAC (O là tâm, A và B là hai điểm trên dây):

- \( OA \) là bán kính, có độ dài bằng 4 cm.
- \( OC \) là khoảng cách từ O đến dây AB (cần tìm).
- \( AC \) là nửa độ dài của dây AB.

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông OAC, chúng ta có:

\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]

Bởi vì \( \angle AOB = 90^\circ \), ta có \( AC = \frac{AB}{2} \) và \( AB \) cũng là dây.

Chúng ta cũng cần tính AC qua công thức. Để tìm khoảng cách OC, ta tìm AC trước.

### b) Tính độ dài dây AB

Tổng quát cho dây AB nằm trong tam giác pháp. Tính độ dài dây AB chúng ta sẽ áp dụng chu vi của một tam giác đều:

\[
Độ\ dài\ AB = 2R \cdot \sin\left(\frac{\angle AOB}{2}\right)
\]

Bởi vì \( \angle AOB = 90^\circ \), ta có:

\[
Độ\ dài\ AB = 2 \cdot 4 \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ cm}
\]

Bây giờ, chúng ta tính OC:

Với \( AB = 4\sqrt{2} \):
\[
AC = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ cm}
\]

Áp dụng vào định lý Pythagore:
\[
4^2 = OC^2 + (2\sqrt{2})^2
\]
\[
16 = OC^2 + 8
\]
\[
OC^2 = 16 - 8 = 8
\]
\[
OC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}
\]

### Kết luận

- a) Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là \( 2\sqrt{2} \) cm.
- b) Độ dài dây AB là \( 4\sqrt{2} \) cm.