Gọi bán kính đáy của hình nón đó là r (cm) (r > 0).

Kí hiệu diện tích đáy, diện tích toàn phần và diện tích xung quanh của hình nón đó lần lượt là S_đáy, S_tp, S_xq.

Diện tích đáy của hình nón đó là: S_đáy = πr² (cm²).

Ta có S_tp = S_xq + S_đáy.

Nên 115π = 65π + πr²

Suy ra πr² = 50π

Do đó r² = 50, từ đó suy ra \(r = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \;\) (m) (do r > 0).

Mặt khác, diện tích xung quanh của hình nón là 65π cm² nên đường sinh l của nó thỏa mãn: \(\pi \cdot 5\sqrt 2 \cdot l = 65\pi .\)

Suy ra \(l = \frac{{65\pi }}{{5\sqrt 2 \cdot \pi }} = \frac{{13\sqrt 2 }}{2}\;\) (cm).

Ta có công thức tính độ dài đường sinh qua chiều cao và bán kính đáy của hình nón là:

l² = h² + r². Suy ra h² = l² – r².

Vậy chiều cao của hình nón đó là:

\(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{13\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {\frac{4} - 50} = \sqrt {\frac{2}} \approx 6\;\) (cm).