Vì ABCD là hình chóp tứ giác đều nên AB = AC = AD = BC = CD = DB = a.

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD nên bán kính R của đường tròn tâm O là \[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]

Hình nón (N) có bán kính đáy là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và đường sinh là AB = a nên diện tích toàn phần của nó là:

\(\pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot a + \pi \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{3}.\)