Tìm x, y là các số tự nhiên sao cho 3x + 5 = ( y + 1 ) x (x + 2)

Để giải phương trình \(3x + 5 = (y + 1) x (x + 2)\), ta sẽ biến đổi phương trình này:

Bước 1: Mở rộng vế phải.

\[
(y + 1)x(x + 2) = (y + 1)(x^2 + 2x) = (y + 1)x^2 + 2(y + 1)x
\]

Bước 2: Viết lại phương trình:

\[
3x + 5 = (y + 1)x^2 + 2(y + 1)x
\]

Bước 3: Đưa tất cả các hạng tử về một vế:

\[
0 = (y + 1)x^2 + (2(y + 1) - 3)x + 5
\]

Bước 4: Để phương trình bậc hai có nghiệm, ta sẽ xét delta:

\[
\Delta = (2(y + 1) - 3)^2 - 4(y + 1) \cdot 5
\]
\[
\Delta = (2y - 1)^2 - 20(y + 1)
\]
\[
= 4y^2 - 4y + 1 - 20y - 20 = 4y^2 - 24y - 19
\]

Bước 5: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm tự nhiên. Chúng ta cần \(D \geq 0\):

\[
4y^2 - 24y - 19 \geq 0
\]

Bước 6: Giải bất phương trình bậc hai này. Ta có thể tìm nghiệm của phương trình \(4y^2 - 24y - 19 = 0\) bằng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 304}}{8} = \frac{24 \pm 28}{8}
\]

Hai nghiệm là:

1. \(y_1 = \frac{52}{8} = 6.5\) (không sử dụng vì \(y\) phải là số tự nhiên)
2. \(y_2 = \frac{-4}{8} = -0.5\) (không sử dụng)

Bước 7: Tìm các giá trị nào của \(y\) làm cho \(2(y + 1) - 3\) nhiều hơn hoặc bằng 0:

\[
2y + 2 - 3 \geq 0 \Rightarrow 2y \geq 1 \Rightarrow y \geq 0.5
\]

Vì \(y\) là số tự nhiên, \(y \geq 1\).

Bước 8: Thay các giá trị của \(y\) (từ 1 trở lên) vào phương trình đã biến đổi và kiểm tra \(x\):

Khi \(y = 1\):
\[
3x + 5 = (1 + 1)x(x + 2) \Rightarrow 3x + 5 = 2x^2 + 4x
\]
\[
0 = 2x^2 + 4x - 3x - 5 \Rightarrow 2x^2 + x - 5 = 0
\]
\[
\Delta = 1 + 40 = 41 > 0 \Rightarrow \text{có 2 nghiệm}
\]

Giải tiếp \(2x^2 + x - 5 = 0\).

Tương tự, kiểm tra các giá trị \(y = 2, 3,...\) đến khi tìm ra thử nghiệm giá trị tự nhiên cụ thể cho \(x\), \(y\).

### Kết luận
Bạn cần tính toán và kiểm tra từng biến thể cho \(y\) trong miền xác định này và kiểm tra các nghiệm tìm được là số tự nhiên. Computation sẽ giúp xác định các cặp \((x,y)\) tương ứng thoả mãn phương trình ban đầu.