Để chứng minh rằng biểu thức

\[
E = x^2 + 2(x+1)^2 + 3(x+2)^2 + 4(x+3)^2
\]

có thể viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức, chúng ta sẽ thực hiện từng bước mở rộng và rút gọn biểu thức này.

1. **Mở rộng các biểu thức:**

- \( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)
- \( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)
- \( (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)

Thay vào biểu thức \(E\):

\[
E = x^2 + 2(x^2 + 2x + 1) + 3(x^2 + 4x + 4) + 4(x^2 + 6x + 9)
\]

2. **Nhân các số hạng:**

- \( 2(x+1)^2 = 2x^2 + 4x + 2 \)
- \( 3(x+2)^2 = 3x^2 + 12x + 12 \)
- \( 4(x+3)^2 = 4x^2 + 24x + 36 \)

Vì vậy, ta có:

\[
E = x^2 + 2x^2 + 4x + 2 + 3x^2 + 12x + 12 + 4x^2 + 24x + 36
\]

3. **Gộp các hạng tử:**

\[
E = (1 + 2 + 3 + 4)x^2 + (0 + 4 + 12 + 24)x + (2 + 12 + 36)
\]

Tính từng hạng tử:

- Hạng tử \(x^2\): \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\)
- Hạng tử \(x\): \(4 + 12 + 24 = 40\)
- Hạng tử tự do: \(2 + 12 + 36 = 50\)

Vậy ta có:

\[
E = 10x^2 + 40x + 50
\]

4. **Viết dưới dạng tổng các bình phương:**
Ta có thể viết \(E\) thành dạng:

\[
E = 10(x^2 + 4x + 5) = 10\left((x + 2)^2 + 1\right)
\]

Hoặc bằng cách đưa về dạng tổng của hai bình phương:

\[
E = (x + 2)^2 + (2\sqrt{10})^2
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
E = 10\left((\frac{1}{\sqrt{10}} (x+2))^2 + 1^2\right)
\]

Kết thúc, ta đã chứng minh rằng \(E\) có thể biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương.

Như vậy, biểu thức đã cho có thể viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức.