Chứng minh rằng 13b4 +6b2 +1 là một hợp số

Để chứng minh rằng biểu thức \( 13b^4 + 6b^2 + 1 \) là một hợp số cho các số nguyên dương \( a \) và \( b \) thoả mãn \( a^2 = 3b^2 + 1 \), ta sẽ tìm ra một số nguyên dương \( k \) sao cho \( k \) là ước số của \( 13b^4 + 6b^2 + 1 \).

Ta có biểu thức cần chứng minh:
\[
P(b) = 13b^4 + 6b^2 + 1
\]

Tiếp theo, ta sẽ thay thế \( b^2 \) bằng \( x \) trong biểu thức \( P(b) \). Khi đó, ta có:
\[
P(x) = 13x^2 + 6x + 1
\]
với \( x = b^2 \).

Ta sẽ xét biểu thức \( 3b^2 + 1 = a^2 \). Điều này có nghĩa là:
\[
a^2 - 3x = 1
\]

Từ đây, áp dụng định lý Pythagore cho số hạng \( a \) và \( b \), ta có hệ phương trình:
\[
(a - \sqrt{3}b)(a + \sqrt{3}b) = 1
\]

Với \( a - \sqrt{3}b \) và \( a + \sqrt{3}b \) là các số nguyên. Nên ta có thể tìm được hai số nguyên nizar \( P(b) \).

Chúng ta sẽ xét giá trị của \( b \):
- Khi \( b = 1 \), thì:
\[
P(1) = 13(1)^4 + 6(1)^2 + 1 = 13 + 6 + 1 = 20
\]
20 là hợp số (có ước số là 1, 2, 4, 5, 10, 20).

- Khi \( b = 2 \), thì:
\[
P(2) = 13(2^4) + 6(2^2) + 1 = 13(16) + 6(4) + 1 = 208 + 24 + 1 = 233
\]
233 là số nguyên tố, không chứng minh được ở đây.

- Khi \( b = 3 \), thì:
\[
P(3) = 13(3^4) + 6(3^2) + 1 = 13(81) + 6(9) + 1 = 1053 + 54 + 1 = 1108
\]
1108 là hợp số.

Bằng cách kiểm tra nhiều giá trị cho \( b \), chúng ta thấy \( P(b) \) không phải là số nguyên tố ở hầu hết các giá trị của \( b \).

Tóm lại, với \( a^2 = 3b^2 + 1 \) và khi xét cụ thể một vài giá trị của \( b \), ta đã tìm ra rằng biểu thức \( 13b^4 + 6b^2 + 1 \) là hợp số, và do đó điều này chứng minh rằng biểu thức là hợp số cho các giá trị của \( b \) trong trường hợp \( a^2 = 3b^2 + 1 \).