Hàm số y=fx=x+mx+1 xác định và liên tục trên 0;1.+ Với m=1 hàm số trở thành y=1 ⇒max0;1fx=min0;1fx=1⇒max0;1fx+min0;1fx=2Do đó m=1 thỏa yêu cầu bài toán.+ Với m≠1 hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên 0;1. Ta có f(0)=m, f(1)=m+12TH1: f0.f1≤0⇔m.m+12≤0⇔−1≤m≤0Khi đó min0;1fx=0 và max0;1fx=m hoặc max0;1fx=m+12Theo giả thiết ta phải có m=2m+12=2⇔m=±2m=3m=−5(loại).TH2: f0.f1>0⇔mm+12>0⇔m<−1m>0Khi đó max0;1f(x)=f(1); min0;1f(x)=f(0)max0;1f(x)=f(0); min0;1f(x)=f(1).Theo giả thiết ta có: max0;1fx+min0;1fx=2⇔m+m+12=2⇔m+m+12=2−m−m+12=2⇔m=1m=−53(thoả mãn).Vậy với m=1m=−53 thì điều kiện bài toán thỏa mãn.