Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).

1 trả lời
Hỏi chi tiết
23
0
0
Tô Hương Liên
13/09 22:52:12

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, N là trung điểm của AC.

Suy ra ba điểm B, G, N thẳng hàng.

Dựng hình bình hành ABCD.

Khi đó trung điểm N của AC cũng là trung điểm của đoạn BD.

Ta có \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = 3MG + 3\left| {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = 3MG + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right|\)

= 3(MG + MD) ≥ 3GD (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra ⇔ M là giao điểm của GD và AC hay M là trung điểm của AC.

Khi đó M trùng N.

Vì tam giác ABC đều nên đường trung tuyến BN cũng là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABN vuông tại N: \(BN = \sqrt {A{B^2} - A{N^2}} = \sqrt {A{B^2} - \frac{{A{C^2}}}{4}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Khi đó \(GN = \frac{1}{3}BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) và \(ND = BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì vậy \(3GD = 3\left( {GN + ND} \right) = 3\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6} + \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2a\sqrt 3 \).

Vậy \({T_{\min }} = 2a\sqrt 3 \) khi M là trung điểm của AC.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư