Để giải bài toán, ta sẽ xử lý từng yêu cầu một.

### a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC vuông tại A biết CA = 8cm và BA = 4cm.

Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có:
- CA = 8 cm (cạnh đối diện với góc B)
- BA = 4 cm (cạnh đối diện với góc C)

Ta cần tính độ dài cạnh còn lại là cạnh huyền AB.

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông:
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]

Gọi AB = c, AC = b, BC = a, từ đó ta có:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Thay vào:
\[
AB^2 = CA^2 + BA^2
\]
\[
AB^2 = 8^2 + 4^2
\]
\[
AB^2 = 64 + 16
\]
\[
AB^2 = 80
\]

Vậy, độ dài cạnh AB:
\[
AB = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94 \text{ cm}
\]

**Kết quả:**
- CA = 8 cm
- BA = 4 cm
- AB = \(4\sqrt{5} \approx 8.94\) cm

### b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC vuông tại A biết AB : BC = 5 : 13 và chu vi tam giác là 90 cm.

Ta có thể gọi các cạnh như sau:
- AB = 5x
- BC = 13x
- AC = c (cạnh huyền)

Chu vi của tam giác ABC:
\[
AB + AC + BC = 90 \Rightarrow 5x + AC + 13x = 90 \Rightarrow 18x + AC = 90
\]

Từ công thức này, ta có:
\[
AC = 90 - 18x
\]

Áp dụng định lý Pythagore:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
\[
(90 - 18x)^2 = (5x)^2 + (13x)^2
\]
\[
(90 - 18x)^2 = 25x^2 + 169x^2 = 194x^2
\]

Giải phương trình:
\[
(90 - 18x)(90 - 18x) = 194x^2
\]
\[
8100 - 1620x + 324x^2 = 194x^2
\]
\[
130x^2 - 1620x + 8100 = 0
\]

Chia hết phương trình cho 10:
\[
13x^2 - 162x + 810 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:
\[
\Delta = (-162)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 810
\]
\[
= 26244 - 42120 = -15876
\]

Do Δ < 0, phương trình không có nghiệm, điều này có nghĩa rằng không tồn tại một tam giác thỏa mãn điều kiện đã cho (tức là tỷ lệ cạnh và chu vi này không hợp lệ cho hình tam giác vuông).

Kết quả là bài b) không có nghiệm hợp lệ cho tam giác vuông.

Nếu bạn có thêm thông tin hoặc yêu cầu khác, hãy cho mình biết!