Để tính hệ lượng giác của góc N trong tam giác vuông MNP, trước tiên chúng ta xác định các cạnh của tam giác. Gọi:

- MN = 12 (cạnh đối với góc P)
- MP = 15 (cạnh cạnh huyền)

Để tính cạnh NP, chúng ta sử dụng định lý Pythagore:

\[
NP^2 = MP^2 - MN^2
\]

Thay các giá trị:

\[
NP^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81
\]

\[
NP = \sqrt{81} = 9
\]

Giờ chúng ta có tất cả các cạnh của tam giác vuông MNP:

- MN = 12 (cạnh đối với góc P)
- MP = 15 (cạnh huyền)
- NP = 9 (cạnh đối với góc N)

### a) Tính hệ lượng giác của góc N

Các hệ lượng giác của góc N bao gồm:

1. Sin N:
\[
\sin N = \frac{MN}{MP} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}
\]

2. Cos N:
\[
\cos N = \frac{NP}{MP} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}
\]

3. Tan N:
\[
\tan N = \frac{MN}{NP} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
\]

4. Cot N:
\[
\cot N = \frac{NP}{MN} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]

5. Sec N:
\[
\sec N = \frac{MP}{NP} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}
\]

6. Csc N:
\[
\csc N = \frac{MP}{MN} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}
\]

### b) Suy ra hệ lượng giác của góc P

Vì tam giác MNP là tam giác vuông tại M, ta có:

\[
\sin P = \cos N, \quad \cos P = \sin N, \quad \tan P = \frac{1}{\tan N
\]

1. Sin P:
\[
\sin P = \cos N = \frac{3}{5}
\]

2. Cos P:
\[
\cos P = \sin N = \frac{4}{5}
\]

3. Tan P:
\[
\tan P = \frac{1}{\tan N} = \frac{3}{4}
\]

4. Cot P:
\[
\cot P = \frac{1}{\tan P} = \frac{4}{3}
\]

5. Sec P:
\[
\sec P = \frac{1}{\cos P} = \frac{5}{4}
\]

6. Csc P:
\[
\csc P = \frac{1}{\sin P} = \frac{5}{3}
\]

Vậy chúng ta đã tính được hệ lượng giác của góc N và góc P.