Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt hai đường tròn (O) và (O') lần lượt tại C và D. Các đường thẳng CA, DA cất (O') và (0) lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng AB là phân giác của ..

Để giải bài toán này, ta sẽ làm việc từng bước.

**a)** Chứng minh rằng AB là phân giác của góc FBE.

Đầu tiên, ta có các điểm như sau:
- Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B.
- Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt (O) tại C và (O') tại D.
- Các đường thẳng CA và DA cắt (O') và (O) tại E và F.

Ta đã thiết lập được rằng AB vuông góc với BC (từ điều kiện của bài toán). Bây giờ, ta cần chứng minh rằng góc FBE bằng góc DBA.

Để chứng minh điều này, ta sử dụng các tính chất hình học của các đường tròn.

1. **Xét góc FBE**:
- Đầu tiên, vì cảm giác của đường tròn, cạnh EB sẽ tiếp xúc với (O) tại B. Do đó, góc EBC là góc tiếp tuyến với bán kính, cho nên:
\[
\angle EBC = \angle CAB \quad (\text{do tính chất góc nội tiếp})
\]

2. **Xét góc DBA**:
- Tương tự, với đường tròn (O') và (O) tại B, ta cũng có được:
\[
\angle DBA = \angle DAB
\]

Từ việc xác định hai góc trên, ta thấy rằng \( \angle EBC = \angle CAB \) và \( \angle DBA = \angle DAB \). Vì A, B là điểm chung của hai đường tròn, ta sử dụng tính chất của góc nội tiếp, ta có được:
\[
\angle FBE = \angle DBA
\]

Từ đó, suy ra rằng AB là phân giác của góc FBE.

**b)** Chứng minh rằng các đường thẳng CF, DE và AB đồng quy tại một điểm.

Ta xem xét các đường thẳng CF và DE. Nếu ta chứng minh rằng AB là phân giác của góc BCD, thì theo tính chất của hai đường thẳng đồng quy, ta sẽ có CF, DE, đồng quy tại một điểm.

1. **Góc BCD**:
- Từ sự xây dựng, ta thấy góc BCD phụ thuộc vào đoạn thẳng AB, tương ứng với việc tam giác ABD có cùng góc tại B.
- Cụ thể, từ cắt nhau A và B, (O) và (O') có góc BCA và BDA tương ứng.

2. **Điểm đồng quy**:
- Khi ta xác định được các góc và độ tương đồng của chúng, suy ra rằng CF và DE phải đồng quy tại điểm trên đường thẳng AB vì nó chia góc BCD thành hai phần bằng nhau tại điểm B (theo định lý góc phân giác trong tam giác).

Do đó, ta có thể khẳng định được rằng điểm giao nhau của CF và DE nằm trên trục AB.

Tóm lại, hai phần chứng minh (a) và (b) trên cho thấy rằng AB là phân giác của góc FBE và các đường thẳng CF, DE và AB đồng quy.