Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\[
B = \frac{x^2 + y^2 + 3}{x^2 + y^2 + 2}
\]

Ta đặt \(z = x^2 + y^2\). Khi đó, biểu thức trở thành:

\[
B = \frac{z + 3}{z + 2}
\]

Để tìm giá trị lớn nhất của \(B\), ta có thể tính đạo hàm của \(B\) theo \(z\) và tìm điểm tới hạn:

\[
B(z) = \frac{z + 3}{z + 2}
\]

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho thương:

\[
B' = \frac{(z + 2)(1) - (z + 3)(1)}{(z + 2)^2} = \frac{(z + 2 - z - 3)}{(z + 2)^2} = \frac{-1}{(z + 2)^2}
\]

Vì \(B' < 0\) cho mọi \(z > -2\), điều này cho thấy hàm \(B\) là giảm. Do đó, giá trị lớn nhất của \(B\) sẽ xảy ra khi \(z\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giá trị nhỏ nhất của \(z = x^2 + y^2\) là 0 (khi \(x = 0, y = 0\)). Thay vào biểu thức \(B\):

\[
B(0) = \frac{0 + 3}{0 + 2} = \frac{3}{2}
\]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(B\) là:

\[
\boxed{\frac{3}{2}}
\]