Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng yêu cầu như sau:

### a) Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau.

1. **Giả sử**: Đường tròn (O) có bán kính \( R \) và được tiếp xúc với đường thẳng xy tại điểm \( A \).
2. **Đường tròn (I)** có đường kính là đoạn thẳng \( OA \), do đó bán kính của (I) là \( r = \frac{OA}{2} \).
3. Từ định nghĩa tiếp xúc, ta biết rằng khoảng cách giữa tâm \( O \) của (O) và tâm \( I \) của (I) phải bằng tổng bán kính của hai đường tròn.
4. Khoảng cách \( OA = R + r = R + \frac{OA}{2} \), tức là \( OA = \frac{2R + OA}{2} \).
5. Khi giải phương trình này, ta có thể rút ra được rằng:
\[
OA = R + \frac{OA}{2} \implies OA - \frac{OA}{2} = R \implies \frac{OA}{2} = R \implies OA = 2R
\]
Dẫn đến hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc tại điểm \( A \).

### b) Vẽ dây cung AC của (O) cắt (I) tại một điểm thứ hai là M. Chứng minh rằng \( MA = MC \).

1. **Vẽ dây cung \( AC \)**: Chọn điểm \( C \) trên đường tròn (O) sao cho dây cung \( AC \) cắt đường tròn (I) tại điểm \( M \).
2. Theo tính chất của hai đường tròn tiếp xúc, ta có:
- \( AO \perp xy \) tại \( A \).
- Tam giác \( AMO \) là tam giác vuông tại \( A \).

3. Suy ra \( MA = MC \) do tính chất của dây cung trong đường tròn (O).

### c) Đường thẳng OM cắt xy tại B. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của (O).

1. **Vẽ đường thẳng \( OM \)** và cắt xy tại \( B \).
2. Ta có \( OA \perp xy \) tại \( A \), từ đó \( OA \) vuông góc với \( xy \).
3. **Sử dụng**: Nếu một đường thẳng từ tâm đường tròn đến tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến, \( OB \) sẽ vuông góc với \( AB \).
4. Từ đó ta có \( OB \) vuông góc \( BC \) tại \( C \), chứng tỏ rằng \( BC \) là tiếp tuyến của (O).

Qua từng bước, ta đã chứng minh được các yêu cầu mà đề bài đưa ra.