Để tìm số nguyên \( x \) sao cho \( M \) đạt giá trị nhỏ nhất, trước tiên hãy biểu diễn \( M \):

\[
M = \frac{42 - x}{x - 15}
\]

Ta cần phân tích biểu thức này. Bước đầu tiên là tìm điều kiện của \( x \) để biểu thức hợp lệ. Tử số là \( 42 - x \) và mẫu số là \( x - 15 \). Mẫu số phải khác 0, tức là:

\[
x - 15 \neq 0 \implies x \neq 15
\]

Bây giờ, để đơn giản hóa việc tìm cực trị của \( M \), ta có thể tìm đạo hàm của \( M \) và giải khi đạo hàm bằng 0. Tuy nhiên, để tìm số nguyên \( x \), ta cũng có thể tính giá trị của \( M \) cho các giá trị nguyên xung quanh \( 15 \).

Tính \( M \) cho các giá trị nguyên của \( x \):

- Khi \( x = 14 \):
\[
M = \frac{42 - 14}{14 - 15} = \frac{28}{-1} = -28
\]

- Khi \( x = 16 \):
\[
M = \frac{42 - 16}{16 - 15} = \frac{26}{1} = 26
\]

- Khi \( x = 17 \):
\[
M = \frac{42 - 17}{17 - 15} = \frac{25}{2} = 12.5
\]

- Khi \( x = 18 \):
\[
M = \frac{42 - 18}{18 - 15} = \frac{24}{3} = 8
\]

Tiếp tục kiểm tra các giá trị cao hơn:

- Khi \( x = 19 \):
\[
M = \frac{42 - 19}{19 - 15} = \frac{23}{4} = 5.75
\]

Chúng ta nhận thấy rằng \( M = -28 \) là giá trị nhỏ nhất khi \( x = 14 \).

Do đó, số nguyên \( x \) để \( M \) đạt giá trị nhỏ nhất là:

\[
\boxed{14}
\]