Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \(C = \frac{60}{12 + \sqrt{9 - (x + 2)^2}}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định miền xác định
Biểu thức \(\sqrt{9 - (x + 2)^2}\) chỉ định rằng:
\[
9 - (x + 2)^2 \geq 0 \implies (x + 2)^2 \leq 9
\]
Từ đó, ta có:
\[
-3 \leq x + 2 \leq 3 \implies -5 \leq x \leq 1
\]
Nên giá trị của \(x\) nằm trong miền \([-5, 1]\).

### Bước 2: Tìm giá trị của \(\sqrt{9 - (x + 2)^2}\)
\(\sqrt{9 - (x + 2)^2}\) đạt giá trị lớn nhất khi \((x + 2)^2\) đạt giá trị nhỏ nhất. Đặt \(y = x + 2\), ta có:
\[
-3 \leq y \leq 3
\]
Tại đây, giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(-3\) (tương ứng với \(x = -5\)) và lớn nhất là \(3\) (tương ứng với \(x = 1\)).

### Bước 3: Tính giá trị của \(C\)
1. Khi \(x = -5\):
\[
C = \frac{60}{12 + \sqrt{9 - (-3)^2}} = \frac{60}{12 + 0} = 5
\]

2. Khi \(x = 1\):
\[
C = \frac{60}{12 + \sqrt{9 - (3)^2}} = \frac{60}{12 + 0} = 5
\]

3. Tại các giá trị khác trong khoảng \([-5, 1]\), \((x + 2)^2\) tăng, dẫn đến \(\sqrt{9 - (x + 2)^2}\) giảm. Khi đó, \(C\) sẽ tăng.

### Bước 4: Phân tích giá trị cực trị
- **GTNN của C**: Khi \(x = -5\) hoặc \(x = 1\), \(C = 5\).
- **GTLN của C**: Biểu thức \(C\) nhỏ nhất đạt giá trị \(5\) và không có giá trị lớn hơn vì \(\sqrt{9 - (x + 2)^2}\) không thể nhỏ hơn 0.

### Kết luận
- GTNN: \(5\)
- GTLN: \(5\)

Vậy trong miền đã xác định, \(C\) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều là \(5\).