Để giải bài toán, trước tiên ta tính độ dài cạnh BC của tam giác vuông ABC.

Gọi:
- AB = a = 3 cm
- AC = b = 4 cm

Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
\]
\[
BC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

Bây giờ, chúng ta có thể tính độ dài đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC. Để tính AH, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC theo hai cách khác nhau:

1. Diện tích tam giác ABC tính bằng công thức:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2
\]

2. Diện tích tam giác ABC cũng có thể tính theo chiều cao AH:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
\[
6 = \frac{1}{2} \times 5 \times AH
\]
Giải phương trình này để tìm AH:
\[
6 = \frac{5}{2} \times AH \implies 12 = 5 \times AH \implies AH = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, chúng ta tính diện tích tam giác AMB.

M là trung điểm của cạnh BC, tức là BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}.

Diện tích tam giác AMB cũng được tính bằng công thức diện tích:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times AM \times AB
\]

Để có chiều cao từ A xuống cạnh MB, ta nhận thấy MB = 2.5 cm và chiều cao AH cũng chính là chiều cao từ A đến MB, bởi vì A, B, M nằm trên một đường thẳng. Do đó:
\[
\text{Diện tích TAM AMB} = \frac{1}{2} \times MB \times AH = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 2.4
\]
\[
= 3 \text{ cm}^2
\]

Tóm lại, các kết quả là:
- Độ dài đường cao AH = 2.4 cm
- Diện tích tam giác AMB = 3 cm².