Để giải các hệ phương trình trên, ta bắt đầu bằng từng hệ một.

### Hệ phương trình 12:
\[
\begin{cases}
3(x+1) + 2(x+2y) = 4 \\
4(x+1) - (x+2y) = 9
\end{cases}
\]

#### Bước 1: Giải phương trình đầu tiên
\(3(x+1) + 2(x+2y) = 4\)

Mở rộng:
\[ 3x + 3 + 2x + 4y = 4 \]
\[ 5x + 4y + 3 = 4 \]
\[ 5x + 4y = 1 \quad (1) \]

#### Bước 2: Giải phương trình thứ hai
\(4(x+1) - (x+2y) = 9\)

Mở rộng:
\[ 4x + 4 - x - 2y = 9 \]
\[ 3x - 2y + 4 = 9 \]
\[ 3x - 2y = 5 \quad (2) \]

#### Bước 3: Giải hệ (1) và (2)
Hệ phương trình là:
\[
\begin{cases}
5x + 4y = 1 \\
3x - 2y = 5
\end{cases}
\]

Từ (2), ta có:
\[ 2y = 3x - 5 \]
\[ y = \frac{3x - 5}{2} \]

Thay vào (1):
\[ 5x + 4\left(\frac{3x - 5}{2}\right) = 1 \]
\[ 5x + 6x - 10 = 1 \]
\[ 11x - 10 = 1 \]
\[ 11x = 11 \]
\[ x = 1 \]

Thay \(x = 1\) vào (1):
\[ 5(1) + 4y = 1 \]
\[ 5 + 4y = 1 \]
\[ 4y = -4 \]
\[ y = -1 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình 12 là:
\[ (x, y) = (1, -1) \]

### Hệ phương trình 3:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x-1} - \frac{2}{y+3} = 7 \\
\frac{3}{x-1} + \frac{4}{y+3} = 1
\end{cases}
\]

**Đặt** \(a = \frac{1}{x-1}\) và \(b = \frac{1}{y+3}\), ta có hệ mới:
\[
\begin{cases}
a - 2b = 7 \\
3a + 4b = 1
\end{cases}
\]

Giải hệ trên ta tìm được \(a\) và \(b\). Sau đó, tính \(x\) và \(y\) từ \(a\) và \(b\).

### Hệ phương trình 6:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y-2} = 8 \\
\frac{2}{x+1} - \frac{3}{y-2} = 1
\end{cases}
\]

Đặt \(c = \frac{1}{x+1}\) và \(d = \frac{1}{y-2}\), hệ này cũng sẽ dẫn đến một hệ phương trình tương tự.

Tiến hành tương tự như trên để giải.

Nếu bạn cần giải cụ thể cho các hệ trên, cho tôi biết!