Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ sử dụng một số định lý cơ bản về hình học không gian.

### a) Chứng minh MC = NC, AN = BM', ÂN' = BM
1. **Chứng minh MC = NC:**
- Xét tam giác AMC và BNC. Ta có:
- AM = BC (theo đề bài)
- AC = AC (cạnh chung)
- BN = AC (theo đề bài)
- Từ đó, ta có hai tam giác AMC và BNC có hai cạnh tương ứng và một góc chung, suy ra chúng đồng dạng và do đó có:
\[
MC = NC
\]

2. **Chứng minh AN = BM':**
- Xét tam giác ABM' và A'N'B. Ta có:
- AM' = AC (theo đề bài)
- AN = AB (chịu tác động từ C)
- BM' = BC (theo đề bài)
- Tương tự như trên, ta có AN = AM' và do đó AN = BM'.

3. **Chứng minh ÂN' = BM:**
- Tương tự, từ tam giác ABM và A'N'C ta có:
- AM = BC (theo đề bài)
- AN' = AC
- BM = AB
- Do đó, có ÂN' = BM.

### b) Chứng minh AN || BM' và ÂN' || BM
1. **Chứng minh AN || BM':**
- Từ các chứng minh trên, ta có AN = BM' và cả hai đoạn thẳng này đều vuông góc với đoạn thẳng AB, nên AN || BM'.

2. **Chứng minh ÂN' || BM:**
- Tương tự, với ÂN' = BM cũng vuông góc với AB, ta có ÂN' || BM.

Từ những chứng minh trên, ta đã hoàn thành việc chứng minh các kết quả trong bài toán.