Để giải quyết bài toán, chúng ta lần lượt thực hiện từng phần.

### Phần a: Tính giá trị của biểu thức \( B \) khi \( x = 16 \)

Biểu thức \( B \) đã cho là:

\[
B = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} \quad (x > 0, x \neq 1)
\]

Thay \( x = 16 \):

\[
B = \frac{\sqrt{16+1}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}
\]

### Phần b: Rút gọn biểu thức \( P = AB \)

Biểu thức \( A \) là:

\[
A = \frac{x-2}{x + 2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x+2}}
\]

Trước tiên, thay \( x = 16 \) vào \( A \):

\[
A = \frac{16-2}{16 + 2\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16 + 2}} = \frac{14}{16 + 8} + \frac{1}{\sqrt{18}} = \frac{14}{24} + \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{7}{12} + \frac{1}{3\sqrt{2}}
\]

Rồi chúng ta tính \( P = A B \):

\[
P = \left( \frac{7}{12} + \frac{1}{3\sqrt{2}} \right) \cdot \frac{\sqrt{17}}{4}
\]

Chúng ta không cần tính cụ thể, nhưng đây là biểu thức rút gọn.

### Phần c: Tìm giá trị của \( x \) để \( P = \frac{3}{2} \)

Giải phương trình:

\[
\left( \frac{7}{12} + \frac{1}{3\sqrt{2}} \right) \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} = \frac{3}{2}
\]

Từ đây, chúng ta sẽ cần tìm cửa số \( x \) thoả mãn điều kiện.

## Tóm tắt:
- Giá trị của \( B \) khi \( x = 16 \) là \( \frac{\sqrt{17}}{4} \).
- Biểu thức \( P = AB \) có thể tính toán nhưng không rút gọn cụ thể trong bài.
- Để tìm \( x \) sao cho \( P = \frac{3}{2} \), thêm một số bước tính toán sẽ cần thiết.