Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### Câu 7
#### a) Rút gọn biểu thức \( P \):
\[
P = \frac{2}{\sqrt{x+3}} - \frac{\sqrt{x-2}}{x+3\sqrt{x}}
\]
Để rút gọn biểu thức, chúng ta cần tìm mẫu số chung và thực hiện phép cộng trừ.

1. Đặt \( a = \sqrt{x+3} \) và \( b = x + 3\sqrt{x} \).
2. Chuyển đổi biểu thức thành dạng đơn giản hơn.

Kết quả rút gọn cuối cùng sẽ là \( P \) dưới dạng một biểu thức đơn giản hơn.

#### b) Tính giá trị của biểu thức \( Q \):
\[
Q = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} \text{ tại } x=9
\]
Thay \( x = 9 \):
\[
Q = \frac{\sqrt{9}+1}{\sqrt{9}-2} = \frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} = 4
\]

#### c) Tìm số hữu tỉ \( x \) để \( M = \frac{P-M}{Q} \) nhận giá trị nguyên.
Đặt \( M = \frac{P}{Q} \) và điều kiện để \( M \) nhận giá trị nguyên là xét giá trị của \( P \) và \( Q \) dựa trên điều kiện cho trước.

### Câu 8
#### a) Rút gọn biểu thức \( P \):
\[
P = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} - \frac{2x-1}{3x}
\]
Giải biểu thức bằng cách tìm định thức và quy đồng.

#### b) Tìm tất cả các giá trị của \( x \) để \( P \) nhận giá trị nguyên.
Xét các điều kiện có thể xảy ra với biểu thức của \( P \) và các giá trị cho \( x \).

### Câu 9
#### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 49 \):
\[
A = \frac{\sqrt{49}+1}{\sqrt{49}+2} = \frac{7+1}{7+2} = \frac{8}{9}
\]

#### b) Chứng minh rằng \( B = \frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1} \).
Chứng minh bằng cách thay thế và rút gọn.

#### c) Tìm các giá trị của \( x \) để \( A \cdot B \) nhận giá trị nguyên.
Lập biểu thức tổng cộng và tìm điều kiện.

### Kết luận:
Xác định tất cả các giá trị từ \( P \), \( Q \), và \( M \) bằng cách giải bài toán và đưa ra kết luận cho từng phần.