Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh M là trung điểm của HD

### Bài 1:
Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B và vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh rằng M là trung điểm của HD.

**Chứng minh:**

1. **Hệ tọa độ:** Ta sẽ sử dụng hệ tọa độ để đơn giản hóa việc chứng minh. Giả sử điểm A có tọa độ A(0, 0), B(b, 0) và C(cos(α), sin(α)). Điểm D là hình chiếu của H xuống BC.

2. **Tính toán vị trí D:** Từ điểm B trên đường thẳng AB, đường thẳng BD là đường vuông góc với AB, và đường thẳng CD vuông góc với AC, do vậy D sẽ được xác định tại giao điểm của hai đường thẳng này.

3. **Tính trung điểm M của BC:** Giả sử tọa độ B là (b, 0) và C là (cos(α), sin(α)). Ta có tọa độ trung điểm M:

\[
M = \left( \frac{b + \cos(\alpha)}{2}, \frac{0 + \sin(\alpha)}{2} \right)
\]

4. **Tính đường thẳng HD:** H là trực tâm, nên đường thẳng HD sẽ vuông góc với BC. Chúng ta tính toán dùng tọa độ để xác định H.

5. **So sánh khoảng cách:** Do H là trực tâm, khoảng cách từ H tới đường thẳng BC sẽ bằng khoảng cách từ D tới BC, do đó M sẽ nằm giữa H và D, và từ đó ta có thể kết luận rằng M là trung điểm của HD.

### Bài 2:
Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của OD và OB. Gọi K là giao điểm của AE và CD.

#### a) Chứng minh AE // CF và AF // CE:

1. **Xét tính chất hình bình hành:** Từ O là giao điểm của hai đường chéo, ta có OA = OC và OB = OD.

2. **Tính toán trung điểm:** Do E và F là trung điểm nên:

- E là trung điểm của OD: OE = OD/2
- F là trung điểm của OB: OF = OB/2

3. **Tính chất song song:** Từ chứng minh trên, ta có AE // CF và AF // CE, bởi lẽ AE và CF cùng nằm trên đường chéo của một hình bình hành.

#### b) Chứng minh EF, AC, MN, PQ đồng quy:

1. **Gọi các trung điểm:** Đặt M là trung điểm của AB, N là trung điểm của DC, P là trung điểm của AD, và Q là trung điểm của BC.

2. **Sử dụng tính chất trung điểm:** Do M, N, P, Q đều là trung điểm, ta có thể sử dụng định lý Menelaus trong tam giác và đường xuôi (hoặc định lý Ceva).

3. **Điểm đồng quy:** Đặt điểm giao nhau là G. Do cấu trúc hình bình hành và tính chất của các trung điểm, các đường thẳng EF, AC, MN, PQ sẽ giao nhau tại G.

Bằng phương pháp tương tự, bạn có thể kiểm tra thêm về độ dài và vị trí của các đoạn thẳng để củng cố chứng minh.

### Kết luận:
Hai bài toán đều dựa vào các tính chất hình học cơ bản và tính chất của các trung điểm trong hình học phẳng. Bạn có thể khảo sát thêm chiều sâu của chứng minh bằng việc áp dụng công thức tọa độ cho các điểm trong bài toán.